Valor Absoluto e Inecuaciones

VALOR ABSOLUTO E INECUACIONES

Se entiende como valor absoluto al modulo de un numero real, es decir, su valor representativo sin importar su signo.

Recordando la representación y empleo de los números enteros es mucho mas sencillo comprender las bases del valor absoluto.

Propiedades

El valor absoluto tiene aplicación en las expresiones algebraicas, especialmente en la resolución de ecuaciones e inecuaciones, por lo que antes de comenzar con la realización de ejercicios, entraremos en el tema de inecuaciones.

Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más incógnitas, y la desigualdad es una expresión que relaciona cantidades indicando si una es mayor que otra. Los símbolos empleados son mayor que ( >) y menor que ( <).

Propiedades de las desigualdades
1. Si a los miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varia. Empleo: Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.
2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o se dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varia. Empleo: se pueden simplificar denominadores de términos fraccionarios sin cambiar el signo de la desigualdad.
3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una cantidad negativa el signo de la desigualdad si varía. Empleo: Si se quiere cambiarle el signo a los términos de la desigualdad cambiara el signo de la desigualdad.
4. Sí vambi el orden de los términos, cambia el signo de la desigualdad.
5. Si se invierten los dos miembros, cambia el signo de la desigualdad.
6. Sí los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
7. Sí los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una misma potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
8. Sí los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad si cambia.
9. Sí un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar.
10. Sí los miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raiz, positiva el signo de la desigualdad no cambia.
11. Sí dos o más desigualdades del mismo signo se suman o se multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo.
12. Sí dos desigualdades del mismo signo se restan o se dividen miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad. Aclarado el manejo de las desigualdades, podemos retornar al valor absoluto y resolver algunos ejercicios pertinentes a este.

Ejemplos:





Ejercicios: resolver aplicando las propiedades del valor absoluto


INECUACIONES

El objetivo de las inecuaciones es encontrar el valor aproximado de la o las incógnitas, se habla de valor aproximado, ya que se consigue un rango de posibles soluciones, nunca es un valor único el que llega a satisfacer la inecuación.

De igual forma que en Valor absoluto la regla principal para resolver inecuaciones está en aplicar propiedades, en este caso especifico de las desigualdades.

En el momento de arrojar un resultado es muy importante los signos a emplear...
Cuando estén presentes los símbolos ≤ o ≥, la solución se denotara con corchetes [ ], se denota así ya que están incluidos los limites de la solución; y cuando estén presentes los símbolos <>, la solución se denotará con los paréntesis ( ), en ese caso los limites no estarán en el conjunto solución. A pesar de esto se pueden tener soluciones mixtas: (…..] semi abierto y […) semi cerrado. Además que siempre se debe colocar el menor de los valores primero.

Inecuaciones de Primer grado con una incógnita:
2x-3>x+5
Aplicando la primera propiedad “Si a los miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varia”

2x-3-x+3>x+5-x+3
Resolviendo cada miembro queda: x >8
Se lee “X mayor que 8”, cualquier numero mayor que 8 (sin incluirlo) hasta el infinito satisface la inecuación.
Sol: (8,∞). Al tener el signo > se tiene un principio abierto, y como el infinito no tiene limite fijo se debe colocar entre paréntesis.

3x-4+x/4<5x/2+2
Aplicando la segunda propiedad de las desigualdades “Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o se dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varia”

(3x-4+x/4)*4 < (5x/2+2)*4
12x-16+x<20x/2+8 2="10x">

12x-16+x<10x+8>

12x-16+x-10x+16<10x+8-10x+16

Resolviendo ambos miembros queda: 3x<24>

Se aplica de nuevo la segunda propiedad (3x)/3<(24)/3

Queda: x<8>

Se lee “X menor que 8”, cualquier numero menor que 8 (sin incluirlo) hasta el menos infinito satisface la inecuación.
Sol: (-∞,8). Al tener el signo > se tiene un final abierto, y como el infinito no tiene limite fijo se debe colocar entre paréntesis.

Inecuaciones de Segundo Grado con una incógnita:
Se operan en un inicio de manera similar a las inecuaciones de primer grado con una incógnita, pero para hallar el intervalo solución, se pueden emplear o no de otras herramientas.

Este es un caso sencillo pero algunas veces no se puede simplificar tan rápidamente, por lo que siempre hay que tener presentes las diferentes herramientas vistas con anterioridad.
Otro ejemplo para aclarar estas ideas:

Otro Ejemplo:

Sistema de Inecuaciones.
También llamadas inecuaciones simultáneas son aquellas en que el conjunto solución tiene que satisfacer a todas y da una de las inecuaciones planteadas.

En los sistemas de inecuaciones hay varias formas de dar con la solución, en este caso aplicaremos, lo que en argot de calculo se llama “El Cementerio”. Todo esto se comprenderá mucho mejor con un ejemplo.

“El Cementerio” consiste en graficar en la recta cada una de las soluciones afirmativas y conseguir la solución conjunta. Para conseguir esta solución se aplica la ley de los signos.

La solución general es donde las dos soluciones sean afirmativas (+). La solución es el conjunto abierto desde el 4 hasta el 5 (4,5).

Otra forma es interceptar las soluciones, y el conjunto resultante, es la solución general.

Ejercicios Unidad I

A continuacion se le presentan 3 imagenes con 30 ejercicios sobre expresiones algebraicas, producto notable y factorización; se le recomienda realizarlos para afianzar los conocimientos adquiridos.
Pulse sobre la imagen deseada para apreciarla mejor.

Producto Notable y Factorización

PRODUCTOS NOTABLES. FACTORIZACIÓN.

Productos Notables:

Son polinomios obtenidos de la multiplicación de otros que poseen ciertas características particulares, que al cumplir ciertas reglas no es necesario realizar la multiplicación.

*Cuadrado de una suma de 2 términos
(a+b)ˆ2=aˆ2+2ab+bˆ2

*Cuadrado de la diferencia de 2 términos
(a-b)ˆ2=aaˆ2-bˆ22-2ab+baˆ2-bˆ2

*Producto de una suma de 2 términos por su diferencia
(a+b)(a-b)=aˆ2-bˆ2

Cuando el polinomio base o binomio ( a+b) está elevado a otra potencia distinta al cuadrado (xˆ2), se deben emplear otras herramientas, las cuales son: el Binomio de Newton y el Triangulo de Pascal.

Binomio de Newton: El polinomio base tiene que ser un binomio, y estar elevado a una potencia entera y positiva).

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***Para desarrollar (a-b)ˆ n se sigue el mismo procedimiento pero alternando los signos iniciando por el positivo (+ - + - + - +…)… el ultimo termino será positivo si la potencia (n) es par, y negativo si “n” es impar.***

Ejemplo: pulse sobre la imagen para apreciarla mejor

Triangulo de Pascal: Herramienta empleada en sustitución al binomio de newton, con este triangulo se obtiene los coeficientes correspondientes a cada uno de los términos del desarrollo del binomio.

pulse sobre la imagen para apreciarla mejor

Procedimiento:
a) El primer termino se eleva al exponente indicado y se va degradando de izquierda a derecha hasta llegar al exponente 0.
b) El segundo termino se eleva al exponente indicado donde el primero este elevado a la cero, y se va degradando de derecha a izquierda, hasta llegar al exponente 0.
c) Ya obtenidos los términos del desarrollo del binomio, se procede a asignarles su coeficiente según el triangulo de pascal.
d) Y por último se colocan los signos, siguiendo las reglas expuestas para el Binomio de Newton.

Esto se observa mejor con un ejemplo:

Pulse sobre la imagen

El Producto Notable es una herramienta útil para resolver operaciones de polinomios siempre que estos sean de 2 términos, para ampliar un poco mas el campo veamos que ocurre cuando se trata de un trinomio:

Para el cuadrado de un trinomio se siguen unas reglas sencillas:
- Se elevan cada uno de los términos al cuadrado
- Se agregan el doble de las combinaciones entre pares de los términos del trinomio.
- De ser todos los términos positivos el resultado debe tener a cada uno de los términos positivos, pero si alguno o algunos de los términos es negativo, hay que aplicar la Ley de multiplicación de Signos cuando se vaya a realizar la combinación par de términos.

Ejemplos:

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***Aplicando las reglas antes descritas***

(a+b+c)ˆ2
- Cada uno de los términos al cuadrado
- El doble de las combinaciones en pares, es decir, cada uno de los términos combinado con otro de los términos hasta acabar las combinaciones.
“a” tan solo puede combinarse con “b” y con “c”; pero “b” tan solo puede con “c” ya que su combinación con “a” ya fue identificada, dejando a “c” sin combinarse ya que su combinación con “a” y con “b” también fueron identificadas. Las combinaciones NO se pueden repetir.
Al final se obtiene , como tiene que ser dobles: .
- Y por último el signo, como los términos del trinomio original son positivos el resultado debe tener todos sus términos positivos.

(a+b+c)ˆ2=aˆ2+bˆ2+cˆ2+2ab+2ac+2bc

***verificar el resultado, realizando la operación de manera tradicional***
2)

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***Aplicando las reglas antes descritas***

(a-b+c)ˆ2
- Cada uno de los términos al cuadrado aˆ2 bˆ2 cˆ2, el término “b” queda positivo ya que -*-=+.
- El doble de las combinaciones en pares, es decir, cada uno de los términos combinado con otro de los términos hasta acabar las combinaciones. Teniendo en cuanta que cualquier término multiplicado por “b” será negativo ya que +*-=-
Al final se obtiene - - .
- Y por último el signo, respetando el resultado de la Ley de Signos aplicada en los pasos previos.

(a-b+c)ˆ2=aˆ2+bˆ2+cˆ2-2ab+2ac-2bc

***verificar el resultado, realizando la operación de manera tradicional***

3)

Pulse sobre la imagen

Factorización: es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores. Encontrar los polinomios raíz de otros más complejos.

Casos:
1. Factor Común.
Consiste en simplificar todos los términos del polinomio por un mismo coeficiente, ya sea una letra o un numero, o la combinación de ellos.

*6xyˆ3 - 9nxˆ2yˆ3 + 12nxˆ3yˆ3 - 3nˆ2xˆ4yˆ3
- Todos los términos son divisibles entre 3
- En todos los términos hay X y Y, N no está en todos los términos. El menor exponente de X es 1, y el menor exponente de Y es 3.
- El factor común es 3xyˆ3
6xyˆ3 - 9nxˆ2yˆ3 + 12nxˆ3yˆ3 + 3nˆ2xˆ4yˆ3 /3xyˆ3= 2 - 3nx + 4nxˆ2 - nˆ2xˆ3
El resultado se expresa: 3xyˆ3(2 - 3nx + 4nxˆ2 - nˆ2xˆ3)

1.1 . Factor Común por agrupación de términos.
*2xa - 2x – ya + y
- No todos los términos tienen el mismo factor común, podemos dividir el polinomio en dos a) 2xa - 2x y b) – ya + y
- En a) el coeficiente en común es: 2x
2xa - 2x / 2x =a-1. Resultado: 2x(a-1)
- En b) el coeficiente en común es: y
y – ya / y =1-a. Resultado: y(1-a)
- Combinando los resultados de a) y b) queda: 2x(a-1)+y(1-a). Aquí podríamos seguir simplificando pero hay una diferencia de signos entre los componentes que se encuentran dentro del paréntesis. Se resuelve extrayendo el signo negativo de uno de ellos respetando la Ley de Signos.

Procedimiento: y(1-a), se divide entre un signo menos y queda:
-y(-1+a), ordenado: -y(a-1).
Reescribiendo el polinomio queda: 2x (a-1) – y(a-1), ahora si identificamos otro nuevo factor (a-1)
2x (a-1) – y(a-1) / (a-1) = 2x – y
Resultado: (2x – y) (a-1)

2. Trinomio cuadrado perfecto.
Se cumple con un procedimiento muy sencillo
- Se ordena el trinomio de mayor a menor (de acuerdo al exponente).
- Se calcula la raíz cuadrada del primer y último término.
- Se abren 2 pares de paréntesis, se coloca en ambos los resultados de la raíz y el signo entre los resultados será el signo que posea el segundo término del trinomio.

Ejemplo: Pulsar en la figura

3. Diferencia de cuadrados.
El procedimiento es similar al caso 2.
- Se calcula la raíz cuadrada del primer y segundo termino (ya que es este caso tan solo hay dos términos).
- Se abren dos pares de paréntesis, y en cada uno se coloca el resultado del calculo de las raíces.
- En el primer paréntesis se coloca entre los resultados el signo positivo, y en el segundo signo negativo.
- El resultado debe ser la expresión del producto de la suma por su diferencia, ya vista en producto notable.

Ejemplo: Pulsar la figura

4. Cociente de la Suma o Diferencia de Potencia Iguales.
Estableciendo ciertas reglas provenientes del Teorema del residuo, se establece que:
· an-bn es divisible por a-b siendo n par o impar
· an+bn es divisible por a+b siendo n par.
· an-bn es divisible por a+b cuando n par.
· an+bn nunca es divisible entre a-b.
Para este caso hay que identificar que tipo de polinomio se tiene, siempre se tendrá un binomio y cada término elevado a potencias iguales, de aquí se separan dos casos si son sumas o restas
- Se debe dividir el binomio entre el posible divisor respetando sus signos.
- De allí se obtendrá otro polinomio, el resultado se debe escribir como el divisor por el resultado de la división.

Ejemplo: Pulse en la figura

5. Trinomio de la forma:
Primero para identificar un trinomio cuadrado, hay que tomar ciertas características:
- Debe tener 3 términos.
- Un termino debe estar elevado al cuadrado; y los términos subsiguientes deben tener la degradación del exponente (a la 1 y a la 0).
Existen dos formas para sacar los factores de este tipo de expresiones, una es por la ecuación de segundo grado, donde se calculan los posibles valores de la incógnita. .

La otra son las formas a continuación descritas.

5.1. x2+bx+c.
- Hay que ordenar el trinomio de mayor a menor.
- Se abren dos pares de paréntesis y en cada uno se coloca la raiz del primer término.
- A continuación en el primer paréntesis se coloca el signo segundo termino, y en el segundo paréntesis se coloca el signo resultante de multiplicar el segundo por el tercer signo del trinomio.
- De resultar signos iguales, hay que hallar dos números que sumados den el segundo termino y multiplicados den el tercer término.
- De resultar signos diferentes, hay que hallar dos números que restados den el segundo termino y multiplicados den el tercer término.
- Hay que tener cuidado con que signo se colocan los números encontrados, eso lo determina el signo del segundo término del trinomio original.

Ejemplo: Pulse en la figura

5.2. ax2+bx+c
Este procedimiento es un poco confuso, luego de la explicación se entenderá mejor con el ejemplo.
- Se debe multiplicar y dividir el trinomio por el cociente del primer término /multiplicando y dividiendo no se afecta la relación).
- Se escribe el resultado de la multiplicación para el primer y tercer término, al segundo término se deja expresado.
- Se siguen los pasos del caso 5.1. cuidando que el segundo término debe ser el original del trinomio, por eso se dejo expresada la multiplicación.
- Luego se puede manipular el denominador para simplificar alguna de las cantidades dentro del paréntesis.

Ejemplo: Pulse la figura

Ruffini.
Este procedimiento también se conoce como el Método de Evaluación.
- En el polinomio dado se debe ordenar.
- Identificar el término independiente y escribir sus factores primos con todos sus signos.
- Evaluar el polinomio con cualquiera de esos valores, si se anula en ellos es divisible entre ese valor.
- Para esto se emplea una división sintética.
- Cada uno de los valores donde el polinomio se anule es un factor de este.

Ejemplo:
1) Pulse la figura


2) Pulse la figura


Completación de Cuadrados.
Es una manera de resolver ecuaciones de segundo grado, dividiendo todos los términos entre el coeficiente del término cuadratico y añadiendo una constante de manera que la ecuación pueda expresarse como cuadrado de otra ecuación.

Ejemplo:

Pulse la figura