Expresiones Algebraicas

Las expresiones algebraicas se crearon con la intención de generalizar el manejo de operaciones matemáticas. Con la introducción de letras que sustituyen números, se amplio el rango de resultados para una misma operación, ya que las letras pueden tomar infinitos valores y con eso se pueden tener infinitos resultados con una misma expresión.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Para representar las cantidades en Álgebra se utilizan símbolos llamados números y letras. Los números representan cantidades conocidas y determinadas, mientras que las letras representan toda clase de cantidades, sean conocidas o desconocidas.

· NOMENCLATURA ALGEBRAICA
Una expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.

Un término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + ó –.

Un término consta de cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
De acuerdo con su signo, son términos positivos los que van precedidos del signo (+) y negativos los precedidos del signo (–); + a, + 8x, + 9ab son términos positivos, - son términos negativos.
Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo.
Como ya se dijo, el coeficiente es uno cualquiera (generalmente el primero) de los factores del término.


Así, en el término 5a el coeficiente es 5; en – 3a 2x 3 el coeficiente es – 3.
Las letras que hay en el término constituyen la parte literal. Así, en 5xy la parte literal es xy; en la parte literal es .

El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Así, el término bxˆ3 es de primer grado con relación a b y de tercer grado con relación a x.
El término 4xˆ2yˆ4 es de segundo grado con relación a x, y de cuarto grado con relación a y

· TIPOS DE TÉRMINOS
Un término entero no tiene denominador literal, como 5a, 6a 4b 3,
Un término fraccionario sí tiene denominador literal, como 3a/b
Un término racional no tiene radical, como en los ejemplos anteriores, y uno irracional sí tiene radical.
Los términos homogéneos tienen el mismo grado absoluto.
Los términos heterogéneos son de distinto grado absoluto.

· CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
a) El monomio consta de un solo término.
b) El polinomio consta de más de un término.
c) Un binomio es un polinomio que consta de dos términos.
d) Un trinomio es un polinomio que consta de tres términos.

El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra. El grado absoluto es el de su término de mayor grado.
Así, el polinomio aˆ6 + aˆ4xˆ2 - aˆ2xˆ4 es de sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con relación a la x.

· TÉRMINOS SEMEJANTES
Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes:
2a y a ; - 2b y 8b ; - 5a 3b 2 y - 8a 3b 2; x m + 1 y 3x m + 1

Por otra parte, los términos 4ab y - 6aˆ2b no son semejantes, porque aunque tienen letras iguales, éstas no tienen los mismos exponentes, ya que la a del primero tiene de exponente 1 y la a del segundo tiene exponente 2.
Además, los términos - bxˆ4 y abˆ4 no son semejantes, porque aunque tienen los mismos exponentes, las letras no son iguales.

Agrupación de términos semejantes:
Recordando que para agrupar tiene que tener la misma parte literal y el mismo exponente.
Ej.
1) 5a - 6b + 8c + 9a - 20c - b + 6b - c
Se reducen por separado los de cada clase:
5a + 9a = 14a
- 6b - b + 6b = - b
8c - 20c - c = - 13c
Tendremos: 14a - b - 13c

· OPERACIONES CON POLINOMIOS:
SUMA:
REGLA GENERAL PARA SUMAR MONOMIOS:
Para sumar dos o más expresiones algebraicas, se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes, si los hay.

1) Sumar 5a, 6b y 8c
Escribimos unos a continuación de otros con sus propios signos, y como 5a = + 5a, 6b = + 6b y 8c = + 8c la suma será:
5a + 6b + 8c

2) Sumar 7a, – 8b, – 15a, 9b, – 4c y 8
Escribimos:
7a + (–8b ) + (– 15a ) + 9b + (– 4c ) + 8 =
7a – 8b – 15a + 9b – 4c + 8 =
- 8a + b – 4c + 8

REGLA GENERAL PARA SUMAR POLINOMIOS:
1) Sumar a – b, 2a + 3b – c y – 4a + 5b
En esta suma suelen incluirse los sumandos entre paréntesis:
(a – b ) + (2a + 3b – c ) + (– 4a + 5b )

En seguida colocamos todos los términos de estos polinomios unos a continuación de otros, con sus propios signos, y tendremos:
a – b + 2a + 3b – c – 4a + 5b = – a + 7b – c

En la práctica se colocan los polinomios unos debajo de otros de modo que los términos semejantes queden en columna.
a – b
2a + 3b – c
- 4a + 5b
=
– a + 7b – c

RESTA:
La resta o sustracción tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia), con lo que resulta evidente que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo.

Si de a (minuendo) queremos restar b (sustraendo), la diferencia será a – b. En efecto: a – b será la diferencia si sumada con el sustraendo b reproduce el minuendo a:

a – b + b = a
Por regla general, para restar se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados, y luego se reducen los términos semejantes, si los hay.

RESTA DE MONOMIOS:
1) De – 4 restar 7
Escribimos el minuendo – 4 con su propio signo y a continuación el sustraendo 7 con el signo cambiado, con lo que la resta será:
– 4 – 7 = – 11

2) (-5aˆ2b) – (4aˆ2b)
Escribimos el minuendo – 5a 2b y a continuación el sustraendo 4a 2b con el signo cambiado, con lo que tenemos:
– 5aˆ2b – 4aˆ2b = – 9aˆ2b

RESTA DE POLINOMIOS
1) De 4x – 3y + z restar 2x + 5z – 6
Se indica la sustracción incluyendo el sustraendo en un paréntesis precedido del signo –:
4x – 3y + z – (2x + 5z – 6)

Dejamos el minuendo con sus propios signos y a continuación escribimos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos, con lo que tendremos:
4x – 3y + z – 2x – 5z + 6

Reduciendo los términos semejantes nos queda:
2x – 3y + 4z + 6

MULTIPLICACIÓN:
Esta operación (dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador) tiene por objeto hallar una tercera cantidad (producto) que sea respecto del multiplicando (en valor absoluto y signo) lo que es el multiplicador respecto de la unidad positiva. El multiplicando y el multiplicador son los factores del producto.

La propiedad de que el orden de los factores no altera el producto, se cumple tanto en Aritmética como en Álgebra.

CASOS DE LA MULTIPLICACIÓN:
1. Multiplicación de monomios: La regla dice que se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto estará dado por la Ley de los Signos.
Ejemplos
1) Multiplicar 2a 2 por 3a 3
2aˆ2 × 3aˆ3 = 2 × 3aˆ(2+3) = 6aˆ5

2. Multiplicación de Polinomios por monomios: La regla para multiplicar un polinomio por un monomio dice que se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos.
Ejemplos:

1) Multiplicar 3xˆ2 - 6x + 7 por 4axˆ2

(3xˆ2 - 6x + 7) × 4axˆ2 = 3xˆ2 (4axˆ2) - 6x (4axˆ2) + 7(4axˆ2)
= 12axˆ4 - 24axˆ3 + 28axˆ2

3. Multiplicación de Polinomios: Hay que multiplicar cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio; de la siguiente manera, se aplica la ley de signos (multiplicación), se multiplican los coeficientes, luego las partes literales (aplicando las reglas de las potencias)

1) Multiplicar 2 + aˆ2 - 2a - aˆ3 por a + 1
Al colocar en orden ascendente con relación a la a, tendremos:

2 - 2a + aˆ2 - aˆ3
1 + a
2 - 2a+ aˆ2 - aˆ3
2a - 2aˆ2+aˆ3 – aˆ4 =
2 +0 - aˆ2 +0 - aˆ4

DIVISIÓN:
Identificar el dividendo y el divisor, y ordenarlos de acuerdo al mayor exponente de la parte literal, dejando espacios o colocando ceros donde no exista el término siguiente.
Identificados el primer término del dividendo y divisor, encontrar un numero o letra que multiplicado por el término del divisor se iguale al término del dividendo, y así ir eliminando términos. Recordando que ese numero o letra encontrado cambia de signo al colocar debajo del dividendo.

Se tiene -4x-2+2xˆ3, se tiene que dividir entre 2+2x
Hay que acomodar los respectivos polinomios
Dividendo: 2xˆ3-4x-2 Primer término: 2x3
Divisor: 2x+2 Primer término: 2x
Un numero que multiplicado por 2x de 2xˆ3… x2


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CASOS DE LA DIVISIÓN:
1. División de Monomios: La regla dice que se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. El signo estará dado por la Ley de los Signos.
Ejemplos

1) Dividir 4a 3b 2 entre - 2ab

4aˆ3bˆ2 ÷ - 2ab = = - 2aˆ2b

2. División de un Polinomio por un Monomio: La regla para dividir un polinomio por un monomio dice que se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos.

3. División de dos Polinomios:

1) Dividir 3aˆ5 + 10aˆ3bˆ2 + 64aˆ2bˆ3 - 21aˆ4b + 32abˆ4 entre aˆ3 - 4abˆ2 - 5aˆ2b

Al colocar con relación a la a en orden descendente:

3aˆ5 - 21aˆ4b + 10aˆ3b 2 + 64aˆ2bˆ3 + 32abˆ4


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· SIGNOS DE AGRUPACIÓN:
Hay cuatro clases de signos de agrupación: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y el vínculo o barra ————.
Estos signos de agrupación se utilizan para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, es decir como una sola cantidad.
De este modo a + (b - c), que equivale a a + (+ b - c), indica que la diferencia b - c debe sumarse con a, y ya sabemos que para efectuar esta suma escribimos a continuación de a las demás cantidades con su propio signo:
a + (b -c) = a + b - c

SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Regla General
1) Para suprimir signos de agrupación precedidos de + se deja el mismo signo que tenga cada cantidad dentro de él.
2) Para quitar signos de agrupación precedidos de - se cambia el signo a cada cantidad dentro de él.
Ejemplos
1) Cómo suprimir los signos de agrupación en la expresión a + (b - c ) + 2a - (a + b ) que equivale a + a (+ b - c ) + 2a - (+ a + b )

Como el primer paréntesis va precedido del signo +, lo suprimimos dejando las cantidades que contiene con su propio signo, y como el segundo paréntesis va precedido del signo -, lo suprimimos cambiando el signo a las cantidades que se hallan dentro, con lo que tendremos:
a + (b - c) + 2a - (a + b) = a + b - c + 2a - a - b = 2a - c

2) Cómo suprimir los signos de agrupación en 5x + (- x - y ) - [- y + 4x ] + {x - 6}
Suprimimos el paréntesis y las llaves precedidas del signo +, dejando las cantidades que están dentro con su propio signo, y como el corchete va precedido de -, lo suprimimos cambiando el signo a las cantidades que se hallan dentro, con lo que tendremos:
5x + (- x - y) - [- y + 4x ] + {x - 6} = 5x - x - y + y - 4x + x - 6 = x - 6

3) Cómo simplificar la expresión 3a + {- 5x - [- a + (9x - a + x )]}
En este ejemplo unos signos de agrupación están incluidos dentro de otros, por lo que se suprime uno en cada paso, empezando por el más interior. En este caso primero suprimimos el vínculo, con lo que tendremos:
Al suprimir el paréntesis tenemos: 3a + {- 5x - [- a + 9x - a - x ]}
Al suprimir el corchete tenemos: 3a + {- 5x + a - 9x + a + x }
Al suprimir las llaves tenemos: 3a - 5x + a - 9x + a + x
Al reducir los términos semejantes queda: 5a - 13x

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Un pequeño repaso de las propiedaddes de potencias de igual base:
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RELACIONES Y FUNCIONES

PLANO CARTESIANO

Coordenadas Cartesianas

Representacion de un punto en el plano

Distancia entre dos puntos

Punto medio de un segmento

TRIGONOMÉTRIA

Trigonométria

Razones trigonométricas

Identidades trigonometricas

Ley del Seno y del Coseno

Teorema de Pitagoras

Ejercicios

Ejercicios de Geometria

GEOMETRIA

UNIDADES DE MEDIDA
Antiguamente, en cada región poblada tenía una medida distinta de acuerdo a su conveniencia, una vara, un brazo, etc., lo que generaba desacuerdos en las negociaciones de esas regiones, por lo que se llego a un convenio para unificar las distintas medidas de longitud, superficie y capacidad.

Con lo que respecta a las propiedades de longitud, superficie y capacidad se pueden mencionar dos sistemas importantes el métrico y el ingles. Las unidades básicas de los sistemas se presentan a continuación:


Para transformar unidades de longitud en el sistema métrico se multiplica o divide entre 10 como muestra la figura:


Ejemplo:
Para pasar 45 Km a m.
De Km a metros hay que bajar 3 escalones (10x10x10)
45x1000=45000 m

Para pasar 362 cm a Hm
De cm a Hm hay que subir 4 escalones (1/10*1/10*1/10*1/10)
362/10000=0.0362 Hm

En el sistema ingles para pasar de pies (ft) a pulgadas (pulg) se debe multiplicar por 12.

Entre los dos sistemas existen transformaciones básicas:
De pulgadas a cm, se multiplica por 2.54
De pies a metros, se multiplica por 0.3048
De metros a pies, se multiplica por 3.281

LAS UNIDADES DE SUPERFICIE representan medidas de áreas de cuerpos planos, en el sistema métrico encontramos las mismas unidades de longitud pero elevadas al cuadrado.

Kilómetro cuadrado (Km^2)
Hectómetro cuadrado (Hm^2)
Decámetro cuadrado (Dm^2)

Metro cuadrado (m^2)

Decímetro cuadrado (dm^2)
Centímetro cuadrado (cm^2)
Milímetro cuadrado (mm^2)

Y en el sistema ingles se hablará de pies cuadrados (ft^2) y de pulgada cuadrada (pulg^2)

La base del sistema métrico es el sistema decimal (base 10) se puede observar que los múltiplos de 10 son de vital importancia en las transformaciones. En las unidades de superficie el múltiplo base es 10^2=100. Aplicando el mismo procedimiento que para las transformaciones longitudinales (división o multiplicación).



Ejemplo:
De 6,89 dm^2 a mm^2.
De dm^2 a mm^2 hay que bajar 2 escalones (100*100)
6,89*10000=68900mm^2

Otras transformaciones
De pulg^2 a cm^2, se multiplica por 6.45
De m^2 a ft^2, se multiplica por 10.76
De ft^2 a m^2, se multiplica por 0.0929
144 pulg^2=1 ft^2
9 ft^2=1 yarda^2

LAS UNIDADES DE CAPACIDAD representan volumen, la cantidad que un cuerpo ocupa en el espacio.

En el sistema métrico se hablará de:

Kilómetro cúbico (Km^3)
Hectómetro cúbico (Hm^3)
Decámetro cúbico (Dm^3)

Metro cúbico (m^3)

Decímetro cúbico (dm^3)
Centímetro cúbico (cm^3)
Milímetro cúbico (mm^3)

Y en el sistema ingles se hablara de pies cúbico (ft^3) y de pulgada cúbica (pulg^3)

Para las transformaciones en el sistema decimal se procederá exactamente a los casos anteriores pero la base de las operaciones es 10^3= 1000.

Ejemplo:
0.2 Hm^3 a m^3
De Hm^3 a m^3 hay que bajar 2 escalones (1000*1000)
0.2*1000000=200000 m^3

Otras transformaciones:
De cm^3 a pulg^3 hay que multiplicar por 0.061023
De ft^3 a m^3, hay que multiplicar por 0.02832
De ft^3 a pulg^3, se multiplica por 1728.0
De m^3 a ft^3, se multiplica por 35.31
1728 pulg^3=1 ft^3
27 ft^3= 1 yarda^3
1 litro=0.001 m^3
1 litro= 1000 cm^3

GEOMETRÍA PLANA.

Triangulo: es una porción del plano limitado por tres segmentos de recta.
* Elementos:
Lados: son los segmentos que lo limitan.
Vértices: son los puntos donde se unen los lados.
Ángulos: se definen como la relación espacial entre dos rectas, en este caso entre los segmentos que conforman los lados y con centro en el vértice. Los ángulos internos de un triangulo han de sumar 180°.
Base: cualquiera de sus lados puede ser considerado como su base, pero se tomara el lado donde este apoyado.
Altura: es la medida que se toma en la perpendicular trazada desde la base hasta el vértice opuesto.

* Operaciones con rectas:
Bisectrices: Son rectas que se originan en el vértice y dividen al ángulo en dos partes iguales. Las tres bisectrices de un triangulo se encuentran en un mismo punto llamado INCENTRO.
Alturas: como se menciono anterior mente son rectas que se originan en el vértice y son perpendiculares al lado opuesto de este. Las alturas se unen en un punto llamado ORTOCENTRO.
Medianas: segmentos de rectas que nacen del vértice y lo unen con el punto medio del lado opuesto, se intersectan en un punto llamado BARICENTRO.
Mediatrices: a diferencia de todas las anteriores estas rectas nacen del punto medio de los lados y son a su vez perpendiculares a estos, se unen en un punto llamado CIRCUNCENTRO.

*Clasificación:
Por la longitud de sus lados:
- Equilátero (todos los lados iguales).
- Isósceles (2 lados iguales).
- Escaleno (3 lados distintos).
Por la medida de sus ángulos:
- Acutángulo (3 ángulos agudos).
- Rectángulo (1 ángulo recto)
- Obtusángulo (1 ángulo obtuso)

* Propiedades:
Perímetro: suma de la longitud de sus lados. “Un lado cualquiera de un triangulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia”.

P=L+L+L
Área: se define como la medida de la porción de plano delimitada por los lados del triangulo, y se calcula como: A= base*altura/2=b*h/2

Paralelogramos: son los cuadriláteros (figuras de 4 lados) que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos
* Elementos:
Lados: son los segmentos que lo limitan.
Vértices: son los puntos donde se unen los lados.
Ángulos: se definen como la relación espacial entre dos rectas, en este caso entre los segmentos que conforman los lados y con centro en el vértice. Los ángulos internos de un cuadrilátero han de sumar 360°.
Base: cualquiera de sus lados puede ser considerado como su base, pero se tomara el lado donde este apoyado.
Altura: es la medida que se toma en la perpendicular trazada desde la base hasta el vértice opuesto.
Diagonales: es el segmento de recta que une a dos vértices opuestos. Cada diagonal divide al cuadrilátero en dos triángulos iguales.
Eje de simetría: es una línea imaginaria por la cual se puede doblar por la mitad el cuadrilátero, y las imágenes se sobrepondrán; se pueden tener 1,2 y hasta 4 ejes.

* Clasificación:
Paralelogramos (2 pares de lados paralelos):
Romboide, Rombo, Rectángulo, Cuadrado.
Trapecios (1 solo par de lados paralelos):
Isósceles, Rectángulos, Escálenos.
Trapezoides (ningún lado paralelo).

* Propiedades:
Perímetro: suma de la longitud de sus lados.
Área: se define como la medida de la porción de plano delimitada por sus lados; pero dependiendo del cuadrilátero varía el cálculo del área.

Polígonos Regulares: son figuras que sus lados son iguales y sus ángulos internos son iguales.
* Elementos:
Lados: son los segmentos que lo limitan.
Vértices: son los puntos donde se unen los lados.
Ángulos: se definen como la relación espacial entre dos rectas, en este caso entre los segmentos que conforman los lados y con centro en el vértice.
Apotema: Es el segmento perpendicular trazado desde el centro hasta el punto medio de un lado.
*Clasificación:


* Propiedades:
Perímetro: suma de la longitud de sus lados, como es un poligono regular y sus lados son de la misma medida bastara multiplicar el numero de lados por esa medida:
P=(#lados)*(medida del lado)=n*L
Área: se define como la medida de la porción de plano delimitada por sus lados; la formula es aplicable para cualquier polígono regular.
A=apotema*#lados*lado/2=a*n*l/2

Circunferencia: Es una figura formada por una línea curva cerrada cuyos puntos están a igual distancia del centro de la circunferencia.
* Elementos:
Radio: es un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
Arco: es la porción de circunferencia comprendida entre dos puntos.
Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diametro: es una cuerda que pasa por el centro, el diámetro equivale a dos radios.
Angulo Central: ángulo con base en el centro de la circunferencia, delimitado por dos rectas que cortan a la circunferencia en 2 puntos.
Sector Circular: es la región de circulo limitada por un ángulo central y su arco correspondiente.

* Operaciones con rectas:
Exterior: es una recta que no tiene ningún punto en común con la circunferencia.
Tangente: es una recta que toca a la circunferencia en un solo punto. El punto donde toca la recta a la circunferencia se llama punto de tangencia, esta recta siempre será perpendicular al radio que une al centro con el punto de tangencia.
Secante: es una recta que pasa por dos puntos de la circunferencia.

* Propiedades:
Perímetro o longitud de una circunferencia: P=2∏*r
Área: se define como la medida de la porción de plano delimitada por la línea curva cerrada.
A=∏*r^2, o A=∏*D^2/4.

GEOMETRÍA ESPACIAL

Prismas: es un cuerpo geometrico cuyas bases son dos poligonos iguales y paralelos y caras laterales son paralelogramos (cuadrilateros). Por su base los prismas pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.
*Elementos:
Aristas: son las intersecciones de sus caras.
Altura: es la perpendicular que va de base a base.
*Propiedades:
Superficie, para esta característica es necesario combinar las propiedades de la figuras bases, es decir el área de las bases adicionándole el área de sus caras laterales. De forma general: A= (perímetro de la base)*altura+2*(área de la base).
A=h*Pbase+2*Abase
Volumen, igual se emplean combinaciones de propiedades de las figuras bases, de forma general se calcula como: V=altura*área de la base.
V=h*Abase

Entre los prismas encontramos al paralelepípedo y al cubo.
Paralelepípedo: (ortoedro) tiene como base 2 rectángulos iguales.
Superficie: es la suma del perímetro del rectángulo por la altura, más 2 beses el área del rectángulo.
A=Prectángulo*h+2*Arectángulo
Volumen:
V=h*Arectángulo
Cubo: (exaedro) tiene como base 2 cuadrados iguales, tambien se de considera como un ortoedro con sus tres dimensiones iguales.
A=Pcuadrado*h+2*Acuadrado=6*h^2
V=h*Acuadrado=h^3

Cilindro: es un rectángulo revolucionado alrededor de uno de sus lados, o también se podría considerar como un prisma de base circular y su cara es un rectángulo continuo. De tal forma que sus propiedades se calcularan de forma similar a la de los prismas.
Superficie:
A=Pcirculo*h+2*Acirculo=2∏*r+2∏*r^2
Volumen:
V=h*Acirculo=h*∏*r^2=h*∏*D^2/4

Esfera: es un cuerpo originado por la revolución completa de medio círculo alrededor de su diámetro.
Superficie:
A=4∏*r^2=∏*D^2
Volumen:
V=4/3∏*r^3=∏*D^3/12

Cono: es un cuerpo originado por la revolución de un triangulo rectángulo alrededor de su altura.
Superficie: es importante resaltar un elemento del cono, la generatriz (g), que se podría considerar como la hipotenusa del triangulo de revolución, o desarrollado el cono sería el radio del sector circular. Entonces la superficie queda como la sumatoria del area lateral mas el area de la base.
A=Asectorcircular+Acirculo
A= ∏*r*g+∏*r^2
Volumen:
V=h*∏*r^2/3

Pirámide: es un cuerpo cuya base es un polígono cualquiera, y sus caras son triángulos que se unen en un mismo punto.
*Elementos:
Vértice: el punto donde se unen los triángulos.
Base: polígono cualquiera triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.
Altura: es la medida perpendicular desde la base hasta el vértice.
*Propiedades:
Superficie: como sus caras son triangulo un parte de la superficie sería la sumatoria de las áreas de los triángulos (n triangulos), y se le agrega la superficie de la base (triangular, cuadrangular, etc.)
A=n*Atriangulo+Abase=n*b/2*htriangulo+ Abase
Volumen: un tercio de la altura de la pirámide por el area de la base (cualquiera que sea la figura).
V=h/3* Abase

Ejercicio de Inecuaciones