Se entiende como valor absoluto al modulo de un numero real, es decir, su valor representativo sin importar su signo.
Recordando la representación y empleo de los números enteros es mucho mas sencillo comprender las bases del valor absoluto.
Propiedades
El valor absoluto tiene aplicación en las expresiones algebraicas, especialmente en la resolución de ecuaciones e inecuaciones, por lo que antes de comenzar con la realización de ejercicios, entraremos en el tema de inecuaciones.
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más incógnitas, y la desigualdad es una expresión que relaciona cantidades indicando si una es mayor que otra. Los símbolos empleados son mayor que ( >) y menor que ( <).
Propiedades de las desigualdades
1. Si a los miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varia. Empleo: Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.
2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o se dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varia. Empleo: se pueden simplificar denominadores de términos fraccionarios sin cambiar el signo de la desigualdad.
3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una cantidad negativa el signo de la desigualdad si varía. Empleo: Si se quiere cambiarle el signo a los términos de la desigualdad cambiara el signo de la desigualdad.
4. Sí vambi el orden de los términos, cambia el signo de la desigualdad.
5. Si se invierten los dos miembros, cambia el signo de la desigualdad.
6. Sí los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
7. Sí los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una misma potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
8. Sí los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad si cambia.
9. Sí un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar.
10. Sí los miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raiz, positiva el signo de la desigualdad no cambia.
11. Sí dos o más desigualdades del mismo signo se suman o se multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo.
12. Sí dos desigualdades del mismo signo se restan o se dividen miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad. Aclarado el manejo de las desigualdades, podemos retornar al valor absoluto y resolver algunos ejercicios pertinentes a este.
Ejemplos:
Ejercicios: resolver aplicando las propiedades del valor absoluto
INECUACIONES
El objetivo de las inecuaciones es encontrar el valor aproximado de la o las incógnitas, se habla de valor aproximado, ya que se consigue un rango de posibles soluciones, nunca es un valor único el que llega a satisfacer la inecuación.
De igual forma que en Valor absoluto la regla principal para resolver inecuaciones está en aplicar propiedades, en este caso especifico de las desigualdades.
En el momento de arrojar un resultado es muy importante los signos a emplear...
Cuando estén presentes los símbolos ≤ o ≥, la solución se denotara con corchetes [ ], se denota así ya que están incluidos los limites de la solución; y cuando estén presentes los símbolos <>, la solución se denotará con los paréntesis ( ), en ese caso los limites no estarán en el conjunto solución. A pesar de esto se pueden tener soluciones mixtas: (…..] semi abierto y […) semi cerrado. Además que siempre se debe colocar el menor de los valores primero.
Inecuaciones de Primer grado con una incógnita:
2x-3>x+5
Aplicando la primera propiedad “Si a los miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varia”
2x-3-x+3>x+5-x+3
Resolviendo cada miembro queda: x >8
Se lee “X mayor que 8”, cualquier numero mayor que 8 (sin incluirlo) hasta el infinito satisface la inecuación.
Sol: (8,∞). Al tener el signo > se tiene un principio abierto, y como el infinito no tiene limite fijo se debe colocar entre paréntesis.
1. Si a los miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varia. Empleo: Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.
2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o se dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varia. Empleo: se pueden simplificar denominadores de términos fraccionarios sin cambiar el signo de la desigualdad.
3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una cantidad negativa el signo de la desigualdad si varía. Empleo: Si se quiere cambiarle el signo a los términos de la desigualdad cambiara el signo de la desigualdad.
4. Sí vambi el orden de los términos, cambia el signo de la desigualdad.
5. Si se invierten los dos miembros, cambia el signo de la desigualdad.
6. Sí los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
7. Sí los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una misma potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
8. Sí los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad si cambia.
9. Sí un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar.
10. Sí los miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raiz, positiva el signo de la desigualdad no cambia.
11. Sí dos o más desigualdades del mismo signo se suman o se multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo.
12. Sí dos desigualdades del mismo signo se restan o se dividen miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad. Aclarado el manejo de las desigualdades, podemos retornar al valor absoluto y resolver algunos ejercicios pertinentes a este.
Ejemplos:
Ejercicios: resolver aplicando las propiedades del valor absoluto
INECUACIONES
El objetivo de las inecuaciones es encontrar el valor aproximado de la o las incógnitas, se habla de valor aproximado, ya que se consigue un rango de posibles soluciones, nunca es un valor único el que llega a satisfacer la inecuación.
De igual forma que en Valor absoluto la regla principal para resolver inecuaciones está en aplicar propiedades, en este caso especifico de las desigualdades.
En el momento de arrojar un resultado es muy importante los signos a emplear...
Cuando estén presentes los símbolos ≤ o ≥, la solución se denotara con corchetes [ ], se denota así ya que están incluidos los limites de la solución; y cuando estén presentes los símbolos <>, la solución se denotará con los paréntesis ( ), en ese caso los limites no estarán en el conjunto solución. A pesar de esto se pueden tener soluciones mixtas: (…..] semi abierto y […) semi cerrado. Además que siempre se debe colocar el menor de los valores primero.
Inecuaciones de Primer grado con una incógnita:
2x-3>x+5
Aplicando la primera propiedad “Si a los miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varia”
2x-3-x+3>x+5-x+3
Resolviendo cada miembro queda: x >8
Se lee “X mayor que 8”, cualquier numero mayor que 8 (sin incluirlo) hasta el infinito satisface la inecuación.
Sol: (8,∞). Al tener el signo > se tiene un principio abierto, y como el infinito no tiene limite fijo se debe colocar entre paréntesis.
3x-4+x/4<5x/2+2
Aplicando la segunda propiedad de las desigualdades “Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o se dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varia”
(3x-4+x/4)*4 < (5x/2+2)*4
12x-16+x<20x/2+8 2="10x">
Aplicando la segunda propiedad de las desigualdades “Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o se dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varia”
(3x-4+x/4)*4 < (5x/2+2)*4
12x-16+x<20x/2+8 2="10x">
12x-16+x<10x+8>
12x-16+x-10x+16<10x+8-10x+16
Resolviendo ambos miembros queda: 3x<24>
Se aplica de nuevo la segunda propiedad (3x)/3<(24)/3
Queda: x<8>
“El Cementerio” consiste en graficar en la recta cada una de las soluciones afirmativas y conseguir la solución conjunta. Para conseguir esta solución se aplica la ley de los signos.
Se lee “X menor que 8”, cualquier numero menor que 8 (sin incluirlo) hasta el menos infinito satisface la inecuación.
Sol: (-∞,8). Al tener el signo > se tiene un final abierto, y como el infinito no tiene limite fijo se debe colocar entre paréntesis.
Inecuaciones de Segundo Grado con una incógnita:
Se operan en un inicio de manera similar a las inecuaciones de primer grado con una incógnita, pero para hallar el intervalo solución, se pueden emplear o no de otras herramientas.
Sol: (-∞,8). Al tener el signo > se tiene un final abierto, y como el infinito no tiene limite fijo se debe colocar entre paréntesis.
Inecuaciones de Segundo Grado con una incógnita:
Se operan en un inicio de manera similar a las inecuaciones de primer grado con una incógnita, pero para hallar el intervalo solución, se pueden emplear o no de otras herramientas.
Este es un caso sencillo pero algunas veces no se puede simplificar tan rápidamente, por lo que siempre hay que tener presentes las diferentes herramientas vistas con anterioridad.
Otro ejemplo para aclarar estas ideas:
Otro ejemplo para aclarar estas ideas:
Otro Ejemplo:
Sistema de Inecuaciones.
También llamadas inecuaciones simultáneas son aquellas en que el conjunto solución tiene que satisfacer a todas y da una de las inecuaciones planteadas.
En los sistemas de inecuaciones hay varias formas de dar con la solución, en este caso aplicaremos, lo que en argot de calculo se llama “El Cementerio”. Todo esto se comprenderá mucho mejor con un ejemplo.
También llamadas inecuaciones simultáneas son aquellas en que el conjunto solución tiene que satisfacer a todas y da una de las inecuaciones planteadas.
En los sistemas de inecuaciones hay varias formas de dar con la solución, en este caso aplicaremos, lo que en argot de calculo se llama “El Cementerio”. Todo esto se comprenderá mucho mejor con un ejemplo.
“El Cementerio” consiste en graficar en la recta cada una de las soluciones afirmativas y conseguir la solución conjunta. Para conseguir esta solución se aplica la ley de los signos.
La solución general es donde las dos soluciones sean afirmativas (+). La solución es el conjunto abierto desde el 4 hasta el 5 (4,5).
Otra forma es interceptar las soluciones, y el conjunto resultante, es la solución general.
Otra forma es interceptar las soluciones, y el conjunto resultante, es la solución general.
