Antiguamente, en cada región poblada tenía una medida distinta de acuerdo a su conveniencia, una vara, un brazo, etc., lo que generaba desacuerdos en las negociaciones de esas regiones, por lo que se llego a un convenio para unificar las distintas medidas de longitud, superficie y capacidad.
Con lo que respecta a las propiedades de longitud, superficie y capacidad se pueden mencionar dos sistemas importantes el métrico y el ingles. Las unidades básicas de los sistemas se presentan a continuación:
Para transformar unidades de longitud en el sistema métrico se multiplica o divide entre 10 como muestra la figura:
Ejemplo:
Para pasar 45 Km a m.
De Km a metros hay que bajar 3 escalones (10x10x10)
45x1000=45000 m
Para pasar 362 cm a Hm
De cm a Hm hay que subir 4 escalones (1/10*1/10*1/10*1/10)
362/10000=0.0362 Hm
En el sistema ingles para pasar de pies (ft) a pulgadas (pulg) se debe multiplicar por 12.
Entre los dos sistemas existen transformaciones básicas:
De pulgadas a cm, se multiplica por 2.54
De pies a metros, se multiplica por 0.3048
De metros a pies, se multiplica por 3.281
LAS UNIDADES DE SUPERFICIE representan medidas de áreas de cuerpos planos, en el sistema métrico encontramos las mismas unidades de longitud pero elevadas al cuadrado.
Kilómetro cuadrado (Km^2)
Hectómetro cuadrado (Hm^2)
Decámetro cuadrado (Dm^2)
Metro cuadrado (m^2)
Decímetro cuadrado (dm^2)
Centímetro cuadrado (cm^2)
Milímetro cuadrado (mm^2)
Y en el sistema ingles se hablará de pies cuadrados (ft^2) y de pulgada cuadrada (pulg^2)
La base del sistema métrico es el sistema decimal (base 10) se puede observar que los múltiplos de 10 son de vital importancia en las transformaciones. En las unidades de superficie el múltiplo base es 10^2=100. Aplicando el mismo procedimiento que para las transformaciones longitudinales (división o multiplicación).
Ejemplo:
De 6,89 dm^2 a mm^2.
De dm^2 a mm^2 hay que bajar 2 escalones (100*100)
6,89*10000=68900mm^2
Otras transformaciones
De pulg^2 a cm^2, se multiplica por 6.45
De m^2 a ft^2, se multiplica por 10.76
De ft^2 a m^2, se multiplica por 0.0929
144 pulg^2=1 ft^2
9 ft^2=1 yarda^2
LAS UNIDADES DE CAPACIDAD representan volumen, la cantidad que un cuerpo ocupa en el espacio.
En el sistema métrico se hablará de:
Kilómetro cúbico (Km^3)
Hectómetro cúbico (Hm^3)
Decámetro cúbico (Dm^3)
Metro cúbico (m^3)
Decímetro cúbico (dm^3)
Centímetro cúbico (cm^3)
Milímetro cúbico (mm^3)
Y en el sistema ingles se hablara de pies cúbico (ft^3) y de pulgada cúbica (pulg^3)
Para las transformaciones en el sistema decimal se procederá exactamente a los casos anteriores pero la base de las operaciones es 10^3= 1000.
Ejemplo:
0.2 Hm^3 a m^3
De Hm^3 a m^3 hay que bajar 2 escalones (1000*1000)
0.2*1000000=200000 m^3
Otras transformaciones:
De cm^3 a pulg^3 hay que multiplicar por 0.061023
De ft^3 a m^3, hay que multiplicar por 0.02832
De ft^3 a pulg^3, se multiplica por 1728.0
De m^3 a ft^3, se multiplica por 35.31
1728 pulg^3=1 ft^3
27 ft^3= 1 yarda^3
1 litro=0.001 m^3
1 litro= 1000 cm^3
GEOMETRÍA PLANA.
Triangulo: es una porción del plano limitado por tres segmentos de recta.
* Elementos:
Lados: son los segmentos que lo limitan.
Vértices: son los puntos donde se unen los lados.
Ángulos: se definen como la relación espacial entre dos rectas, en este caso entre los segmentos que conforman los lados y con centro en el vértice. Los ángulos internos de un triangulo han de sumar 180°.
Base: cualquiera de sus lados puede ser considerado como su base, pero se tomara el lado donde este apoyado.
Altura: es la medida que se toma en la perpendicular trazada desde la base hasta el vértice opuesto.
* Operaciones con rectas:
Bisectrices: Son rectas que se originan en el vértice y dividen al ángulo en dos partes iguales. Las tres bisectrices de un triangulo se encuentran en un mismo punto llamado INCENTRO.
Alturas: como se menciono anterior mente son rectas que se originan en el vértice y son perpendiculares al lado opuesto de este. Las alturas se unen en un punto llamado ORTOCENTRO.
Medianas: segmentos de rectas que nacen del vértice y lo unen con el punto medio del lado opuesto, se intersectan en un punto llamado BARICENTRO.
Mediatrices: a diferencia de todas las anteriores estas rectas nacen del punto medio de los lados y son a su vez perpendiculares a estos, se unen en un punto llamado CIRCUNCENTRO.
*Clasificación:
Por la longitud de sus lados:
- Equilátero (todos los lados iguales).
- Isósceles (2 lados iguales).
- Escaleno (3 lados distintos).
Por la medida de sus ángulos:
- Acutángulo (3 ángulos agudos).
- Rectángulo (1 ángulo recto)
- Obtusángulo (1 ángulo obtuso)
* Propiedades:
Perímetro: suma de la longitud de sus lados. “Un lado cualquiera de un triangulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia”.
Triangulo: es una porción del plano limitado por tres segmentos de recta.
* Elementos:
Lados: son los segmentos que lo limitan.
Vértices: son los puntos donde se unen los lados.
Ángulos: se definen como la relación espacial entre dos rectas, en este caso entre los segmentos que conforman los lados y con centro en el vértice. Los ángulos internos de un triangulo han de sumar 180°.
Base: cualquiera de sus lados puede ser considerado como su base, pero se tomara el lado donde este apoyado.
Altura: es la medida que se toma en la perpendicular trazada desde la base hasta el vértice opuesto.
* Operaciones con rectas:
Bisectrices: Son rectas que se originan en el vértice y dividen al ángulo en dos partes iguales. Las tres bisectrices de un triangulo se encuentran en un mismo punto llamado INCENTRO.
Alturas: como se menciono anterior mente son rectas que se originan en el vértice y son perpendiculares al lado opuesto de este. Las alturas se unen en un punto llamado ORTOCENTRO.
Medianas: segmentos de rectas que nacen del vértice y lo unen con el punto medio del lado opuesto, se intersectan en un punto llamado BARICENTRO.
Mediatrices: a diferencia de todas las anteriores estas rectas nacen del punto medio de los lados y son a su vez perpendiculares a estos, se unen en un punto llamado CIRCUNCENTRO.
*Clasificación:
Por la longitud de sus lados:
- Equilátero (todos los lados iguales).
- Isósceles (2 lados iguales).
- Escaleno (3 lados distintos).
Por la medida de sus ángulos:
- Acutángulo (3 ángulos agudos).
- Rectángulo (1 ángulo recto)
- Obtusángulo (1 ángulo obtuso)
* Propiedades:
Perímetro: suma de la longitud de sus lados. “Un lado cualquiera de un triangulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia”.
P=L+L+L
Área: se define como la medida de la porción de plano delimitada por los lados del triangulo, y se calcula como: A= base*altura/2=b*h/2
Paralelogramos: son los cuadriláteros (figuras de 4 lados) que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos
* Elementos:
Lados: son los segmentos que lo limitan.
Vértices: son los puntos donde se unen los lados.
Ángulos: se definen como la relación espacial entre dos rectas, en este caso entre los segmentos que conforman los lados y con centro en el vértice. Los ángulos internos de un cuadrilátero han de sumar 360°.
Base: cualquiera de sus lados puede ser considerado como su base, pero se tomara el lado donde este apoyado.
Altura: es la medida que se toma en la perpendicular trazada desde la base hasta el vértice opuesto.
Diagonales: es el segmento de recta que une a dos vértices opuestos. Cada diagonal divide al cuadrilátero en dos triángulos iguales.
Eje de simetría: es una línea imaginaria por la cual se puede doblar por la mitad el cuadrilátero, y las imágenes se sobrepondrán; se pueden tener 1,2 y hasta 4 ejes.
* Clasificación:
Paralelogramos (2 pares de lados paralelos):
Romboide, Rombo, Rectángulo, Cuadrado.
Trapecios (1 solo par de lados paralelos):
Isósceles, Rectángulos, Escálenos.
Trapezoides (ningún lado paralelo).
* Propiedades:
Perímetro: suma de la longitud de sus lados.
Área: se define como la medida de la porción de plano delimitada por sus lados; pero dependiendo del cuadrilátero varía el cálculo del área.
Área: se define como la medida de la porción de plano delimitada por los lados del triangulo, y se calcula como: A= base*altura/2=b*h/2
Paralelogramos: son los cuadriláteros (figuras de 4 lados) que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos
* Elementos:
Lados: son los segmentos que lo limitan.
Vértices: son los puntos donde se unen los lados.
Ángulos: se definen como la relación espacial entre dos rectas, en este caso entre los segmentos que conforman los lados y con centro en el vértice. Los ángulos internos de un cuadrilátero han de sumar 360°.
Base: cualquiera de sus lados puede ser considerado como su base, pero se tomara el lado donde este apoyado.
Altura: es la medida que se toma en la perpendicular trazada desde la base hasta el vértice opuesto.
Diagonales: es el segmento de recta que une a dos vértices opuestos. Cada diagonal divide al cuadrilátero en dos triángulos iguales.
Eje de simetría: es una línea imaginaria por la cual se puede doblar por la mitad el cuadrilátero, y las imágenes se sobrepondrán; se pueden tener 1,2 y hasta 4 ejes.
* Clasificación:
Paralelogramos (2 pares de lados paralelos):
Romboide, Rombo, Rectángulo, Cuadrado.
Trapecios (1 solo par de lados paralelos):
Isósceles, Rectángulos, Escálenos.
Trapezoides (ningún lado paralelo).
* Propiedades:
Perímetro: suma de la longitud de sus lados.
Área: se define como la medida de la porción de plano delimitada por sus lados; pero dependiendo del cuadrilátero varía el cálculo del área.
Polígonos Regulares: son figuras que sus lados son iguales y sus ángulos internos son iguales.
* Elementos:
Lados: son los segmentos que lo limitan.
Vértices: son los puntos donde se unen los lados.
Ángulos: se definen como la relación espacial entre dos rectas, en este caso entre los segmentos que conforman los lados y con centro en el vértice.
Apotema: Es el segmento perpendicular trazado desde el centro hasta el punto medio de un lado.
*Clasificación:
* Propiedades:
Perímetro: suma de la longitud de sus lados, como es un poligono regular y sus lados son de la misma medida bastara multiplicar el numero de lados por esa medida:
P=(#lados)*(medida del lado)=n*L
Área: se define como la medida de la porción de plano delimitada por sus lados; la formula es aplicable para cualquier polígono regular.
A=apotema*#lados*lado/2=a*n*l/2
Circunferencia: Es una figura formada por una línea curva cerrada cuyos puntos están a igual distancia del centro de la circunferencia.
* Elementos:
Radio: es un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
Arco: es la porción de circunferencia comprendida entre dos puntos.
Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diametro: es una cuerda que pasa por el centro, el diámetro equivale a dos radios.
Angulo Central: ángulo con base en el centro de la circunferencia, delimitado por dos rectas que cortan a la circunferencia en 2 puntos.
Sector Circular: es la región de circulo limitada por un ángulo central y su arco correspondiente.
* Operaciones con rectas:
Exterior: es una recta que no tiene ningún punto en común con la circunferencia.
Tangente: es una recta que toca a la circunferencia en un solo punto. El punto donde toca la recta a la circunferencia se llama punto de tangencia, esta recta siempre será perpendicular al radio que une al centro con el punto de tangencia.
Secante: es una recta que pasa por dos puntos de la circunferencia.
* Propiedades:
Perímetro o longitud de una circunferencia: P=2∏*r
Área: se define como la medida de la porción de plano delimitada por la línea curva cerrada.
A=∏*r^2, o A=∏*D^2/4.
GEOMETRÍA ESPACIAL
Prismas: es un cuerpo geometrico cuyas bases son dos poligonos iguales y paralelos y caras laterales son paralelogramos (cuadrilateros). Por su base los prismas pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.
*Elementos:
Aristas: son las intersecciones de sus caras.
Altura: es la perpendicular que va de base a base.
*Propiedades:
Superficie, para esta característica es necesario combinar las propiedades de la figuras bases, es decir el área de las bases adicionándole el área de sus caras laterales. De forma general: A= (perímetro de la base)*altura+2*(área de la base).
A=h*Pbase+2*Abase
Volumen, igual se emplean combinaciones de propiedades de las figuras bases, de forma general se calcula como: V=altura*área de la base.
V=h*Abase
Entre los prismas encontramos al paralelepípedo y al cubo.
Paralelepípedo: (ortoedro) tiene como base 2 rectángulos iguales.
Superficie: es la suma del perímetro del rectángulo por la altura, más 2 beses el área del rectángulo.
A=Prectángulo*h+2*Arectángulo
Volumen:
V=h*Arectángulo
Cubo: (exaedro) tiene como base 2 cuadrados iguales, tambien se de considera como un ortoedro con sus tres dimensiones iguales.
A=Pcuadrado*h+2*Acuadrado=6*h^2
V=h*Acuadrado=h^3
Cilindro: es un rectángulo revolucionado alrededor de uno de sus lados, o también se podría considerar como un prisma de base circular y su cara es un rectángulo continuo. De tal forma que sus propiedades se calcularan de forma similar a la de los prismas.
Superficie:
A=Pcirculo*h+2*Acirculo=2∏*r+2∏*r^2
Volumen:
V=h*Acirculo=h*∏*r^2=h*∏*D^2/4
Esfera: es un cuerpo originado por la revolución completa de medio círculo alrededor de su diámetro.
Superficie:
A=4∏*r^2=∏*D^2
Volumen:
V=4/3∏*r^3=∏*D^3/12
Cono: es un cuerpo originado por la revolución de un triangulo rectángulo alrededor de su altura.
Superficie: es importante resaltar un elemento del cono, la generatriz (g), que se podría considerar como la hipotenusa del triangulo de revolución, o desarrollado el cono sería el radio del sector circular. Entonces la superficie queda como la sumatoria del area lateral mas el area de la base.
A=Asectorcircular+Acirculo
A= ∏*r*g+∏*r^2
Volumen:
V=h*∏*r^2/3
Pirámide: es un cuerpo cuya base es un polígono cualquiera, y sus caras son triángulos que se unen en un mismo punto.
*Elementos:
Vértice: el punto donde se unen los triángulos.
Base: polígono cualquiera triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.
Altura: es la medida perpendicular desde la base hasta el vértice.
*Propiedades:
Superficie: como sus caras son triangulo un parte de la superficie sería la sumatoria de las áreas de los triángulos (n triangulos), y se le agrega la superficie de la base (triangular, cuadrangular, etc.)
A=n*Atriangulo+Abase=n*b/2*htriangulo+ Abase
Volumen: un tercio de la altura de la pirámide por el area de la base (cualquiera que sea la figura).
V=h/3* Abase
