EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Para representar las cantidades en Álgebra se utilizan símbolos llamados números y letras. Los números representan cantidades conocidas y determinadas, mientras que las letras representan toda clase de cantidades, sean conocidas o desconocidas.
· NOMENCLATURA ALGEBRAICA
Una expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.
Un término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + ó –.
Un término consta de cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
De acuerdo con su signo, son términos positivos los que van precedidos del signo (+) y negativos los precedidos del signo (–); + a, + 8x, + 9ab son términos positivos, - son términos negativos.
Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo.
Como ya se dijo, el coeficiente es uno cualquiera (generalmente el primero) de los factores del término.
Así, en el término 5a el coeficiente es 5; en – 3a 2x 3 el coeficiente es – 3.
Las letras que hay en el término constituyen la parte literal. Así, en 5xy la parte literal es xy; en la parte literal es .
El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Así, el término bxˆ3 es de primer grado con relación a b y de tercer grado con relación a x.
El término 4xˆ2yˆ4 es de segundo grado con relación a x, y de cuarto grado con relación a y
· TIPOS DE TÉRMINOS
Un término entero no tiene denominador literal, como 5a, 6a 4b 3,
Un término fraccionario sí tiene denominador literal, como 3a/b
Un término racional no tiene radical, como en los ejemplos anteriores, y uno irracional sí tiene radical.
Los términos homogéneos tienen el mismo grado absoluto.
Los términos heterogéneos son de distinto grado absoluto.
· CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
a) El monomio consta de un solo término.
b) El polinomio consta de más de un término.
c) Un binomio es un polinomio que consta de dos términos.
d) Un trinomio es un polinomio que consta de tres términos.
El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra. El grado absoluto es el de su término de mayor grado.
Así, el polinomio aˆ6 + aˆ4xˆ2 - aˆ2xˆ4 es de sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con relación a la x.
· TÉRMINOS SEMEJANTES
Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes:
2a y a ; - 2b y 8b ; - 5a 3b 2 y - 8a 3b 2; x m + 1 y 3x m + 1
Por otra parte, los términos 4ab y - 6aˆ2b no son semejantes, porque aunque tienen letras iguales, éstas no tienen los mismos exponentes, ya que la a del primero tiene de exponente 1 y la a del segundo tiene exponente 2.
Además, los términos - bxˆ4 y abˆ4 no son semejantes, porque aunque tienen los mismos exponentes, las letras no son iguales.
Agrupación de términos semejantes:
Recordando que para agrupar tiene que tener la misma parte literal y el mismo exponente.
Ej.
1) 5a - 6b + 8c + 9a - 20c - b + 6b - c
Se reducen por separado los de cada clase:
5a + 9a = 14a
- 6b - b + 6b = - b
8c - 20c - c = - 13c
Tendremos: 14a - b - 13c
· OPERACIONES CON POLINOMIOS:
SUMA:
REGLA GENERAL PARA SUMAR MONOMIOS:
Para sumar dos o más expresiones algebraicas, se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes, si los hay.
1) Sumar 5a, 6b y 8c
Escribimos unos a continuación de otros con sus propios signos, y como 5a = + 5a, 6b = + 6b y 8c = + 8c la suma será:
5a + 6b + 8c
2) Sumar 7a, – 8b, – 15a, 9b, – 4c y 8
Escribimos:
7a + (–8b ) + (– 15a ) + 9b + (– 4c ) + 8 =
7a – 8b – 15a + 9b – 4c + 8 =
- 8a + b – 4c + 8
REGLA GENERAL PARA SUMAR POLINOMIOS:
1) Sumar a – b, 2a + 3b – c y – 4a + 5b
En esta suma suelen incluirse los sumandos entre paréntesis:
(a – b ) + (2a + 3b – c ) + (– 4a + 5b )
En seguida colocamos todos los términos de estos polinomios unos a continuación de otros, con sus propios signos, y tendremos:
a – b + 2a + 3b – c – 4a + 5b = – a + 7b – c
En la práctica se colocan los polinomios unos debajo de otros de modo que los términos semejantes queden en columna.
a – b
2a + 3b – c
- 4a + 5b
=
– a + 7b – c
RESTA:
La resta o sustracción tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia), con lo que resulta evidente que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo.
Si de a (minuendo) queremos restar b (sustraendo), la diferencia será a – b. En efecto: a – b será la diferencia si sumada con el sustraendo b reproduce el minuendo a:
a – b + b = a
Por regla general, para restar se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados, y luego se reducen los términos semejantes, si los hay.
RESTA DE MONOMIOS:
1) De – 4 restar 7
Escribimos el minuendo – 4 con su propio signo y a continuación el sustraendo 7 con el signo cambiado, con lo que la resta será:
– 4 – 7 = – 11
2) (-5aˆ2b) – (4aˆ2b)
Escribimos el minuendo – 5a 2b y a continuación el sustraendo 4a 2b con el signo cambiado, con lo que tenemos:
– 5aˆ2b – 4aˆ2b = – 9aˆ2b
RESTA DE POLINOMIOS
1) De 4x – 3y + z restar 2x + 5z – 6
Se indica la sustracción incluyendo el sustraendo en un paréntesis precedido del signo –:
4x – 3y + z – (2x + 5z – 6)
Dejamos el minuendo con sus propios signos y a continuación escribimos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos, con lo que tendremos:
4x – 3y + z – 2x – 5z + 6
Reduciendo los términos semejantes nos queda:
2x – 3y + 4z + 6
MULTIPLICACIÓN:
Esta operación (dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador) tiene por objeto hallar una tercera cantidad (producto) que sea respecto del multiplicando (en valor absoluto y signo) lo que es el multiplicador respecto de la unidad positiva. El multiplicando y el multiplicador son los factores del producto.
La propiedad de que el orden de los factores no altera el producto, se cumple tanto en Aritmética como en Álgebra.
CASOS DE LA MULTIPLICACIÓN:
1. Multiplicación de monomios: La regla dice que se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto estará dado por la Ley de los Signos.
Ejemplos
1) Multiplicar 2a 2 por 3a 3
2aˆ2 × 3aˆ3 = 2 × 3aˆ(2+3) = 6aˆ5
2. Multiplicación de Polinomios por monomios: La regla para multiplicar un polinomio por un monomio dice que se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos.
Ejemplos:
1) Multiplicar 3xˆ2 - 6x + 7 por 4axˆ2
(3xˆ2 - 6x + 7) × 4axˆ2 = 3xˆ2 (4axˆ2) - 6x (4axˆ2) + 7(4axˆ2)
= 12axˆ4 - 24axˆ3 + 28axˆ2
3. Multiplicación de Polinomios: Hay que multiplicar cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio; de la siguiente manera, se aplica la ley de signos (multiplicación), se multiplican los coeficientes, luego las partes literales (aplicando las reglas de las potencias)
1) Multiplicar 2 + aˆ2 - 2a - aˆ3 por a + 1
Al colocar en orden ascendente con relación a la a, tendremos:
2 - 2a + aˆ2 - aˆ3
1 + a
2 - 2a+ aˆ2 - aˆ3
2a - 2aˆ2+aˆ3 – aˆ4 =
2 +0 - aˆ2 +0 - aˆ4
DIVISIÓN:
Identificar el dividendo y el divisor, y ordenarlos de acuerdo al mayor exponente de la parte literal, dejando espacios o colocando ceros donde no exista el término siguiente.
Identificados el primer término del dividendo y divisor, encontrar un numero o letra que multiplicado por el término del divisor se iguale al término del dividendo, y así ir eliminando términos. Recordando que ese numero o letra encontrado cambia de signo al colocar debajo del dividendo.
Se tiene -4x-2+2xˆ3, se tiene que dividir entre 2+2x
Hay que acomodar los respectivos polinomios
Dividendo: 2xˆ3-4x-2 Primer término: 2x3
Divisor: 2x+2 Primer término: 2x
Un numero que multiplicado por 2x de 2xˆ3… x2
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CASOS DE LA DIVISIÓN:
1. División de Monomios: La regla dice que se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. El signo estará dado por la Ley de los Signos.
Ejemplos
1) Dividir 4a 3b 2 entre - 2ab
4aˆ3bˆ2 ÷ - 2ab = = - 2aˆ2b
2. División de un Polinomio por un Monomio: La regla para dividir un polinomio por un monomio dice que se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos.
3. División de dos Polinomios:
1) Dividir 3aˆ5 + 10aˆ3bˆ2 + 64aˆ2bˆ3 - 21aˆ4b + 32abˆ4 entre aˆ3 - 4abˆ2 - 5aˆ2b
Al colocar con relación a la a en orden descendente:
3aˆ5 - 21aˆ4b + 10aˆ3b 2 + 64aˆ2bˆ3 + 32abˆ4
Pulse sobre el dibujo para visualizar el ejemplo
· SIGNOS DE AGRUPACIÓN:
Hay cuatro clases de signos de agrupación: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y el vínculo o barra ————.
Estos signos de agrupación se utilizan para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, es decir como una sola cantidad.
De este modo a + (b - c), que equivale a a + (+ b - c), indica que la diferencia b - c debe sumarse con a, y ya sabemos que para efectuar esta suma escribimos a continuación de a las demás cantidades con su propio signo:
a + (b -c) = a + b - c
SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Regla General
1) Para suprimir signos de agrupación precedidos de + se deja el mismo signo que tenga cada cantidad dentro de él.
2) Para quitar signos de agrupación precedidos de - se cambia el signo a cada cantidad dentro de él.
Ejemplos
1) Cómo suprimir los signos de agrupación en la expresión a + (b - c ) + 2a - (a + b ) que equivale a + a (+ b - c ) + 2a - (+ a + b )
Como el primer paréntesis va precedido del signo +, lo suprimimos dejando las cantidades que contiene con su propio signo, y como el segundo paréntesis va precedido del signo -, lo suprimimos cambiando el signo a las cantidades que se hallan dentro, con lo que tendremos:
a + (b - c) + 2a - (a + b) = a + b - c + 2a - a - b = 2a - c
2) Cómo suprimir los signos de agrupación en 5x + (- x - y ) - [- y + 4x ] + {x - 6}
Suprimimos el paréntesis y las llaves precedidas del signo +, dejando las cantidades que están dentro con su propio signo, y como el corchete va precedido de -, lo suprimimos cambiando el signo a las cantidades que se hallan dentro, con lo que tendremos:
5x + (- x - y) - [- y + 4x ] + {x - 6} = 5x - x - y + y - 4x + x - 6 = x - 6
3) Cómo simplificar la expresión 3a + {- 5x - [- a + (9x - a + x )]}
En este ejemplo unos signos de agrupación están incluidos dentro de otros, por lo que se suprime uno en cada paso, empezando por el más interior. En este caso primero suprimimos el vínculo, con lo que tendremos:
Al suprimir el paréntesis tenemos: 3a + {- 5x - [- a + 9x - a - x ]}
Al suprimir el corchete tenemos: 3a + {- 5x + a - 9x + a + x }
Al suprimir las llaves tenemos: 3a - 5x + a - 9x + a + x
Al reducir los términos semejantes queda: 5a - 13x
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Un pequeño repaso de las propiedaddes de potencias de igual base:
http://docs.google.com/Doc?id=dc65jzrb_88g9fvvf
